A la vuelta de verano, el matemático Fernando Blasco, nos planteó un nuevo enigma. Hoy damos la solución.
Un multimillonario decide hacer 20 depósitos monetarios en bancos diferentes. Para ello ingresa una cierta cantidad en el primer depósito y otra en el segundo. En el tercer depósito ingresa la suma de las dos cantidades anteriores. En el cuarto la suma de cantidades depositadas en el segundo y el tercero. Así sucesivamente hasta el vigésimo depósito, en el que ingresa 1.000.000, correspondiente a la suma de las cantidades depositadas en el décimo octavo y el décimo noveno.
Si todas las cantidades depositadas constituyen un número entero de euros (esto es, no hay decimales) ¿a qué valores ascendían los dos primeros depósitos?
SOLUCIÓN
Como aparece en los comentarios de muchos oyentes, el primer depósito era de 154 euros y el segundo de 144.
Hay varias formas de abordar el problema. Una de ellas por "fuerza bruta": llamando x, e y a las cantidades ingresadas en los dos primeros depósitos respectivamente, con la regla que se da en el enunciado podemos ir calculando una expresión para cada uno de los siguientes depósitos: así en el tercer depósito ingresaríamos x+y euros, en el cuarto x+2y, en el quinto 2x+3y, ... y en el vigésimo 2584x+4181y. Como sabemos que esa cantidad asciende a 1000000 euros, solo debemos encontrar los números (enteros positivos) x e y que lo satisfacen, que resultan ser 154 y 144.
Una solución más directa implica el conocimiento de propiedades de la sucesión de Fibonacci (sí, esa de la que se hablaba en "El Código Da Vinci"). Si tenemos una sucesión construida como la del enunciado, el término que ocupa el lugar n, a(n), viene dado por la fórmula a(n)=a(1)*F(n-2)+a(2)*F(n-1). Basta ahora darse cuenta de que los términos décimo octavo y décimo noveno de la sucesión de Fibonacci son, respectivamente, 2584 y 4181.
Para resolver la ecuación resultante puede despejarse una de las incógnitas, dar valores a la otra e imponer que ambas sean números enteros.
La hoja de cálculo también puede ayudar en esto, tal como han comentado algunos oyentes.
El primer depósito 154euros, el segundo 144euros. Yo he llegado a lo mismo que los demás que han comentado, a la ecuación 2584x 4181y=1.000.000. La he introducido modificada en una hoja de cálculo, para que pruebe todos los valores enteros de y desde 239 hacia abajo hasta el 0 y encuentre un x entero. Si x e y son enteros, todos los demás, al ser sumas sucesivas de ellos serán enteros también.
Trabajando con los datos llegamos a la ecuación 2584X 4181Y = 1000000, con lo que despejando Y y sacando factor común se obtiene: Y = 8x(125000 - 323X)/4181. Llegados aquí basta con usar una hoja de cálculo que vaya restando a 125000 todos los factores de 323 hasta ver cuál es divisible por 4181. Este factor es 18, lo que nos da la solución: X=154 e Y=144.
¿alguien ha tenido en cuenta las comisiones que se quedan los bancos?
Si al primer depósito lo llamamos x y al segundo y, el tercer deposito será x y, el 4º es x 2y, el 5º 2x 3y, ..., y el 20º es 2584x 4181Y. De donde sacamos que: 2584x 4181y = 1.000.000 Por otro lado x y=N, donde N debe ser un número entero. Operando, tenenmos que x = N-y, y por tanto y=(1.000.000-2584N)/1597 Con la ayuda de una hoja de cálculo y probando valores de N para que "Y" sea número entero, obtenemos que N=298, Y=144 y X=154. Por tanto el primer depósito es de 154%u20AC y el segundo de 144%u20AC. Saludos y espero haber sido claro.
Coincido con Juan C. García, salvo que el depósito número 19 es 618034. Un saludo.
